1045. 快速排序(25)

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题目描述

著名的快速排序算法里有一个经典的划分过程：我们通常采用某种方法取一个元素作为主元，通过交换，把比主元小的元素放到它的左边，比主元大的元素放到它的右边。 给定划分后的N个互不相同的正整数的排列，请问有多少个元素可能是划分前选取的主元？

例如给定N = 5, 排列是1、3、2、4、5。则：

1的左边没有元素，右边的元素都比它大，所以它可能是主元；

尽管3的左边元素都比它小，但是它右边的2它小，所以它不能是主元；

尽管2的右边元素都比它大，但其左边的3比它大，所以它不能是主元；

类似原因，4和5都可能是主元。

因此，有3个元素可能是主元。

输入格式：

输入在第1行中给出一个正整数N（<= 105）； 第2行是空格分隔的N个不同的正整数，每个数不超过109。

输出格式：

在第1行中输出有可能是主元的元素个数；在第2行中按递增顺序输出这些元素，其间以1个空格分隔，行末不得有多余空格。

输入样例：

5
1 3 2 4 5

输出样例：

3
1 4 5

提交代码

解法一（25分）

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <numeric>
using namespace std;

struct num
{
    int value;
    bool is_main;
};

bool cmp(num a, num b)
{
    return a.value < b.value;
}

int main()
{
    int n, cnt = 0;
    int i, j;
    int left_max, right_min;
    bool flag = false;
    num tmp;
    vector<num> vec;

    scanf("%d", &n);
    left_max = 0;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &tmp.value);
        if (left_max < tmp.value) {
            tmp.is_main = true;
            left_max = tmp.value;
        } else {
            tmp.is_main = false;
        }
        vec.push_back(tmp);
    }
    right_min = vec[n - 1].value;
    for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
        if (vec[i].value > right_min) {
            vec[i].is_main = false;
        } else {
            right_min = vec[i].value;
        }
        if (vec[i].is_main) {
            cnt++;
        }
    }
    sort(vec.begin(), vec.end(), cmp);
    printf("%d\n", cnt);
    for (i = 0; i < vec.size(); i++) {
        if (vec[i].is_main && flag) {
            printf(" %d", vec[i].value);
            flag = true;
        } else if (vec[i].is_main) {
            printf("%d", vec[i].value);
            flag = true;
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

解法二（23分）

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <numeric>
using namespace std;

struct num
{
    int value;
    bool is_main;
};

bool cmp(num a, num b)
{
    return a.value < b.value;
}

int main()
{
    int n, cnt = 0;
    int i, j;
    bool flag = false;
    num tmp;
    vector<num> vec;

    scanf("%d", &n);
    while (n--) {
        scanf("%d", &tmp.value);
        tmp.is_main = true;
        vec.push_back(tmp);
    }
    for (i = 0; i < vec.size(); i++) {
        if (!vec[i].is_main) {
            continue;
        }
        for (j = i; j < vec.size(); j++) {
            if (vec[i].value > vec[j].value) {
                vec[i].is_main = false;
                vec[j].is_main = false;
            }
        }
        if (vec[i].is_main) {
            cnt++;
        }
    }
    sort(vec.begin(), vec.end(), cmp);
    printf("%d\n", cnt);
    for (i = 0; i < vec.size(); i++) {
        if (vec[i].is_main && flag) {
            printf(" %d", vec[i].value);
            flag = true;
        } else if (vec[i].is_main) {
            printf("%d", vec[i].value);
            flag = true;
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

个人思考

这道题对时间复杂度的要求还是比较高的，毕竟数据量是105级的。一开始想到的办法就是直接暴力搜，但还是稍微优化了一下，形成了解法二。虽然说理论上可以减少将近一半的比较次数，但时间复杂度其实还是 O(n2) 的，第一次提交就有一个超时和一个答案错误。超时的原因一开始还以为是哪里死循环了之类的，后来才发现是复杂度无疑了。

至于答案错误的原因，是比较常犯的一个错误吧。一开始用了两个 vector，分别用来存储元素的值和是否为主元，但输出前有一个排序的操作，存储元素的值的 vector 被排序了，而判断是否为主元的 vector 却还是原来的顺序，对应关系就乱了。然而还是拿到了四个测试点的分数。原因大概是：

快速排序结束后主元位置不变。

但是，位置不变的不一定是主元。还好 PAT 的测试样例足够完善，不然这个逻辑上的错误可能就不会被我发现了。据此柳婼也给出了一个算法。具体思路就是：

对原序列sort排序，逐个比较，当当前元素没有变化并且它左边的所有值的最大值都比它小的时候就可以认为它一定是主元。

然后我参考了另外一种复杂度为 O(n) 的方法，用贪心的思路稍微改了一下，就 AC 了。

参考资料